סט

מתוך הנקודאי

בלוגיקה פורמלית, סט (באנגלית: Set), הוא כל אלמנט מובחן אחד, או שניים או יותר אלמנטים מובחנים, אשר כל אחד מהם, לפי הגדרה, יכול להיחשב ל"סט" בעצמו[1].

לפי הגדרה, סט יכול להיות סט ריק ולהכיל בתוכו סטים רקים (קופסה ריקה ← בתוך קופסה ריקה ← בתוך קופסה ריקה תהיה דוגמה פרקטית).

סט עם אלמנט מובחן אחד

אם "סט" מוגדר כולל רק אלמנט מובחן אחד אז לפי הגדרה גם האלמנט הכלול בו הוא "מקבץ פוטנציאלי לפחות" שיכול לגדול להכיל אלמנט מובחן אחד לפחות בעצמו[2] וכן הלאה.

גודל סט

המונח עוצמה (באנגלית: Cardinal) מתאר גודל סט באופן שאינו מתחשב במבנה הסט (אם הוגדר מבנה כזה) וקשור רק במניית כל אלמנט מובחן בכל סט.
לפי הגדרה, עוצמת סט ריק היא 0 ; עוצמת סט המכיל אלמנט מובחן אחד (בין אם אלמנט זה ריק בעצמו ובין אם יכיל, נניח, עשרה אלמנטים מובחנים) היא 1 וכן הלאה.

יסודות המתמטיקה

שתי תאוריות בתחום יסודות המתמטיקה קשורות בחקר יסודי של סטים; תורת הסטים הנאיבית ותורת הסטים האקסיומטית אשר גרסתה המקובלת כיום היא גרסת צרמלו-פרנקל.

הערות כלליות

  • מושג הסט הוא הייצוג הכללי של מושג המערך (מתחום התכנות) וכן של מושג השארות מתחום הפילוסופיה בכללותה
  • בעברית המונח "סט" מכונה "קבוצה" אך זה יוצר בלבול אפשרי עם טרמינולוגיה סטנדרטית באנגלית במתמטיקה לפיה "קבוצה" (group) היא סוג ספציפי של סט ולא כל סט (כל סט מכונה בספרות זו פשוט Set).

נספח

בעזרת סטים אולי ניתן לבצע רדוקציה של המתמטיקה כולה לסטים שונים של אובייקטים (אינני מתמטיקאי וגם לא קרוב לזה ואולי מה שכתבתי כאן ייחשב לשטויות גמורות בקרב כל מתמטיקאי) אבל דוגמה אפשרית תהיה:

  • אופרטורים:
  • סטים ריקים
  • סטים לא ריקים:
  • נקודה
  • מעגל
  • קטעים פתוחים עקומים או ישרים
  • קטעים סגורים עקומים או ישרים
  • מספר (סט ספרה\ספרות)
  • פונקציות (סט זוג סדור\זוגות סדורים)
  • משוואה דיפרנציאלית (סט פתרונות)
  • אופרנדים: כגון ארבע פעולות החשבון, שוויון, אי שוויון, הכלה, אי הכלה ועוד

לפי מיטב הבנתי האופרטור האלמנטרי ביותר הוא נקודה; ניתן להגדירה כריבוע מנוון (ריבוע שכל ארבעת פינותיו מכונסות) או כמעגל הקטן ביותר במישור אם כי במרחב הפיזיקלי קשה לדמיין נקודה גם אם יש איבר פיזיקלי השקול לה. ערכי גודל מספריים של נקודה לא יהיו מספרים מקבוצת מספרים שמעל לקבוצת המספרים הממשיים.

  • ניתן להתפלסף ולטעון שמרחב (void) הוא כשלעצמו אובייקט ואלמנטרי יותר מנקודה
  • לפחות תאורטית הן נקודה והן מעגל כ(משתנים) יכולים לקבל אין סוף גדלים במישור אין סופי או במרחב אין סופי.

ראו גם

הערות שוליים

  1. ^ וכך גם כל אלמנט שבתת-סט כזה ושבתת-תת סט שלו, ושבתת-תת-תת סט שלו וכן הלאה עד אין סוף בעיקרון (גם אם לא בפרקטיקה)
  2. ^ בשני המקרים הכלליים יהיו יהיה מדובר ב"מקבץ פוטנציאלי לפחות"